Obiettivi formativi
Al termine del corso lo studente dovrebbe aver acquisito conoscenze e competenze di base del calcolo differenziale ed integrale per funzioni di una variabile reale; inoltre dovrebbe essere in grado di applicarle a problemi concreti e di maneggiarle agevolmente in relazione ad altri ambiti del sapere. In particolare lo studente dovrebbe essere in grado di:
1) avere familiarità con la struttura degli insiemi dei numeri reali e dei numeri razionali e con concetti di base del calcolo integro-differenziale per funzioni di una variabile (limiti, derivate, integrali definiti ed indefiniti). Conoscere e comprendere concetti legati a successioni e serie numeriche (velocità di e criteri per la convergenza) (Conoscenze e capacità di comprensione)
2) applicare, attraverso le numerose esercitazioni svolte in aula, le conoscenze teoriche acquisite alla risoluzione di semplici problemi concreti (limiti, integrali). Successivamente, essere in grado di collegare concetti al fine di risolvere esercizi più complessi (studi di funzione, esercizi strutturati). (Capacità di applicare conoscenza e comprensione)
3) valutare la coerenza e la correttezza dei risultati ottenuti ed analizzare le strategie risolutive adeguate per gli esercizi proposti (Autonomia di giudizio)
4) utilizzare un linguaggio formalmente corretto che permetta di comunicare in modo chiaro e preciso i contenuti del programma svolto. Lezioni frontali e confronti diretti con il docente favoriranno l'acquisizione da parte dello studente di un lessico scientifico specifico ed appropriato (Capacità comunicative)
5) approfondire autonomamente le proprie conoscenze, partendo da quelle basilari fornite nel corso, al fine di poter gestire appropriatamente ed efficacemente l’uso di ulteriori strumenti e concetti matematici. Questi saranno importanti nei rimanenti insegnamenti del Corso di Laurea, in percorsi di formazione successivi, ma anche in vista di future esperienze lavorative nelle quali sia richiesto l'uso di elementi matematici. (Capacità di apprendimento)
Prerequisiti
Nessuno
Contenuti dell'insegnamento
Il concetto di limite per le successioni. Calcolo differenziale e integrale per funzioni reali di una variabile reale
Programma esteso
Insiemi e numeri: Elementi di teoria degli insiemi, operazioni tra insiemi. Insiemi numerici: N, Z, Q, R, C. Rappresentazione dei numeri reali su una retta; massimo, minimo, estremo superiore e inferiore; parte intera e modulo dei numeri reali; potenze, radici, radici n-esime dei numeri non negativi. Forma algebrica, trigonometrica ed esponenziale dei numeri complessi; radici n-esime di un numero complesso.
Funzioni: Funzioni iniettive, suriettive, biiettive, funzioni composte, funzione inversa; grafici; funzioni reali di variabile reale, funzioni monotone; potenze con esponente reale, funzioni esponenziali e logaritmiche; angoli, funzioni trigonometriche. Cenni alla cardinalità (anche infinita).
Successioni e serie numeriche: Limiti di successioni, notazione di Landau (o-piccolo e O-grande). Serie numeriche e criteri di convergenza (cenni).
Limiti e continuità. Limiti di funzioni reali di variabile reale; limite della somma, prodotto, quoziente di due funzioni; limite destro e sinistro. Continuità di funzioni reali di variabile reale, proprietà notevoli delle funzioni continue.
Calcolo differenziale. Rapporto incrementale, derivata, significato geometrico della derivata; regole di derivazione: derivate della somma, prodotto, quoziente di due funzioni; derivate di funzioni composte e di funzioni inverse; derivate delle funzioni elementari; massimi e minimi relativi; punti stazionari; relazione fra monotonia e segno della derivata; teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange, De l'Hopital; derivate di ordine superiore; sviluppo in serie di Taylor. Studio dei grafici di funzioni derivabili.
Integrali: Primitive di funzioni in un intervallo e integrali indefiniti; interpretazione geometrica dell'integrale; proprietà degli integrali; teorema fondamentale del calcolo integrale; integrazione per parti e per sostituzione; calcolo esplicito di integrali di funzioni elementari.
Qualche esempio di equazione differenzials
Bibliografia
M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli, Analisi Matematica, Mc Graw-Hill
E. Acerbi, G. Buttazzo: Analisi matematica ABC, Ed. Pitagora, 2000.
Metodi didattici
Il corso prevede 8 o 9 ore di didattica frontale a settimana, di cui circa 2 (o più) saranno dedicate agli esercizi. Durante le lezioni frontali, in modalità tradizionale, alla lavagna, gli argomenti verranno presentanti partendo da esempi, quando possibile. Privilegiato sarà sempre il confronto con gli studenti, anche al fine di far emergere eventuali lacune pregresse sui temi trattati e tentare prontamente di recuperarle. Il corso darà particolare enfasi agli aspetti applicativi e di calcolo, pur non tralasciando il rigoroso aspetto teorico. A tale scopo risultano particolarmente importanti le esercitazioni svolte in aula nelle quale lo studente imparerà ad applicare la teoria vista a lezione al fine di risolvere un determinato problema concreto. Con cadenza settimanale verrà caricato sul portale elly un file con vari esercizi e sarà richiesto, come parte dello studio individuale, lo svolgimento da parte dello studente di tali esercizi. Le ore di esercitazione saranno dedicate alla risoluzione dettagliata di alcuni esercizi tratti dalle dispense delle settimane precedenti.
Modalità verifica apprendimento
La verifica dell'apprendimento potrà avvenire con modalità diverse dettate dalla pandemia in corso. Queste informazioni sono dunque da ritenere non definitive, ma soggette ad aggiornamento.
Dopo circa 8 settimane dall'inizio vi sarà una prova intermedia: probabilmente, si tratterà di un quiz su elly con domande su equazioni, disequazioni, immagine diretta e inversa di funzioni,... Se superata, questa prova darà diritto a qualche punto di bonus da cumulare con il risultato della prova scritta (vedi sotto).
La prova scritta finale (6 appelli durante l'anno) in presenza prevede tre esercizi (limiti, integrali, studio di funzioni). L'accesso sarà permesso agli studenti che avranno superato un ulteriore quiz con domande su derivate e integrali. Se la prova sarà a distanza vi saranno piccole modifiche a questa modalità che saranno comunicate tempestivamente.
Altre informazioni
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Obiettivi agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile
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